Los matemáticos ahora poseen un vocabulario común para resolver una amplia gama de problemas gracias a las variedades, un concepto introducido por Bernhard Riemann a mediados del siglo XIX que alteró fundamentalmente la forma en que los matemáticos ven el espacio. Las variedades son formas que parecen planas para un observador a pequeña escala, incluso si su estructura general es más compleja. Este concepto transformó el espacio, que pasó de ser meramente un entorno físico para los objetos matemáticos a un objeto abstracto digno de estudio por derecho propio.

Este cambio de perspectiva permitió a los matemáticos investigar rigurosamente los espacios de dimensiones superiores, lo que condujo al desarrollo de la topología moderna, un campo dedicado al estudio de espacios matemáticos como las variedades. La introducción de las variedades también ha tenido un impacto significativo en campos como la geometría, los sistemas dinámicos, el análisis de datos y la física.

Antes del trabajo de Riemann, el espacio se consideraba principalmente un telón de fondo para los objetos matemáticos. Sin embargo, las variedades permitieron a los matemáticos tratar el espacio mismo como un objeto matemático con sus propias propiedades y características. Esta abstracción resultó crucial para desarrollar nuevas herramientas y teorías matemáticas.

El impacto de las variedades se extiende más allá de las matemáticas puras. En física, se utilizan para modelar la estructura del espacio-tiempo en la relatividad general. En el análisis de datos, proporcionan un marco para comprender conjuntos de datos de alta dimensión. Su versatilidad las ha hecho indispensables en diversas disciplinas.

Hoy en día, las variedades son un concepto fundamental en matemáticas, similar al alfabeto en el lenguaje. Su estudio continuo promete nuevos avances en nuestra comprensión del espacio y sus aplicaciones en diversos campos.