Grâce aux variétés, un concept introduit par Bernhard Riemann au milieu du XIXe siècle qui a fondamentalement modifié la façon dont les mathématiciens conçoivent l'espace, les mathématiciens disposent désormais d'un vocabulaire commun pour résoudre un large éventail de problèmes. Les variétés sont des formes qui apparaissent plates à un observateur à petite échelle, même si leur structure globale est plus complexe. Ce concept a transformé l'espace, qui n'était auparavant qu'un cadre physique pour les objets mathématiques, en un objet abstrait digne d'être étudié en soi.

Ce changement de perspective a permis aux mathématiciens d'étudier rigoureusement les espaces de plus grande dimension, ce qui a conduit au développement de la topologie moderne, un domaine consacré à l'étude des espaces mathématiques tels que les variétés. L'introduction des variétés a également eu un impact significatif sur des domaines tels que la géométrie, les systèmes dynamiques, l'analyse des données et la physique.

Avant les travaux de Riemann, l'espace était principalement considéré comme une toile de fond pour les objets mathématiques. Cependant, les variétés ont permis aux mathématiciens de traiter l'espace lui-même comme un objet mathématique doté de ses propres propriétés et caractéristiques. Cette abstraction s'est avérée cruciale pour le développement de nouveaux outils et théories mathématiques.

L'impact des variétés s'étend au-delà des mathématiques pures. En physique, elles sont utilisées pour modéliser la structure de l'espace-temps dans la relativité générale. En analyse de données, elles fournissent un cadre pour comprendre les ensembles de données de grande dimension. Leur polyvalence les a rendues indispensables dans diverses disciplines.

Aujourd'hui, les variétés sont un concept fondamental en mathématiques, comparable à l'alphabet dans le langage. Leur étude continue promet de nouvelles avancées dans notre compréhension de l'espace et de ses applications dans divers domaines.