Graças às variedades, um conceito introduzido por Bernhard Riemann em meados do século XIX que alterou fundamentalmente a forma como os matemáticos veem o espaço, os matemáticos agora possuem um vocabulário comum para resolver uma ampla gama de problemas. Variedades são formas que parecem planas para um observador em pequena escala, mesmo que sua estrutura geral seja mais complexa. Este conceito transformou o espaço de ser meramente um cenário físico para objetos matemáticos em um objeto abstrato digno de estudo por si só.

Essa mudança de perspectiva permitiu que os matemáticos investigassem rigorosamente espaços de dimensões superiores, levando ao desenvolvimento da topologia moderna, um campo dedicado ao estudo de espaços matemáticos como variedades. A introdução de variedades também impactou significativamente campos como geometria, sistemas dinâmicos, análise de dados e física.

Antes do trabalho de Riemann, o espaço era considerado principalmente um pano de fundo para objetos matemáticos. No entanto, as variedades permitiram que os matemáticos tratassem o próprio espaço como um objeto matemático com suas próprias propriedades e características. Essa abstração provou ser crucial para o desenvolvimento de novas ferramentas e teorias matemáticas.

O impacto das variedades se estende além da matemática pura. Na física, elas são usadas para modelar a estrutura do espaço-tempo na relatividade geral. Na análise de dados, elas fornecem uma estrutura para entender conjuntos de dados de alta dimensão. Sua versatilidade as tornou indispensáveis em várias disciplinas.

Hoje, as variedades são um conceito fundamental na matemática, semelhante ao alfabeto na linguagem. Seu estudo contínuo promete mais avanços em nossa compreensão do espaço e suas aplicações em diversos campos.