Благодаря многообразиям – концепции, представленной Бернхардом Риманом в середине 19-го века, которая коренным образом изменила представление математиков о пространстве – математики теперь обладают общим словарем для решения широкого круга задач. Многообразия — это формы, которые кажутся плоскими наблюдателю в малом масштабе, даже если их общая структура более сложна. Эта концепция превратила пространство из просто физической среды для математических объектов в абстрактный объект, достойный изучения сам по себе.

Этот сдвиг в перспективе позволил математикам строго исследовать пространства более высокой размерности, что привело к развитию современной топологии — области, посвященной изучению математических пространств, таких как многообразия. Введение многообразий также оказало значительное влияние на такие области, как геометрия, динамические системы, анализ данных и физика.

До работ Римана пространство рассматривалось в основном как фон для математических объектов. Однако многообразия позволили математикам рассматривать само пространство как математический объект со своими свойствами и характеристиками. Эта абстракция оказалась решающей для разработки новых математических инструментов и теорий.

Влияние многообразий выходит за рамки чистой математики. В физике они используются для моделирования структуры пространства-времени в общей теории относительности. В анализе данных они обеспечивают основу для понимания многомерных наборов данных. Их универсальность сделала их незаменимыми в различных дисциплинах.

Сегодня многообразия являются фундаментальной концепцией в математике, сродни алфавиту в языке. Их дальнейшее изучение обещает дальнейшие успехи в нашем понимании пространства и его применений в различных областях.