由于黎曼在19世纪中期提出的流形概念从根本上改变了数学家看待空间的方式，数学家现在拥有了通用的词汇来解决各种各样的问题。流形是指在小尺度上对观察者来说显得平坦的形状，即使它们的整体结构更为复杂。这个概念将空间从仅仅是数学对象的物理背景转变为一个值得研究的抽象对象。

这种视角的转变使数学家能够严格地研究高维空间，从而发展出现代拓扑学，这是一个致力于研究像流形这样的数学空间的领域。流形的引入也对几何学、动力系统、数据分析和物理学等领域产生了重大影响。

在黎曼的工作之前，空间主要被认为是数学对象的背景。然而，流形允许数学家将空间本身视为具有自身属性和特征的数学对象。这种抽象被证明对于开发新的数学工具和理论至关重要。

流形的影响超越了纯数学。在物理学中，它们被用来模拟广义相对论中时空的结构。在数据分析中，它们为理解高维数据集提供了一个框架。它们的多功能性使它们在各个学科中都不可或缺。

今天，流形是数学中的一个基本概念，类似于语言中的字母表。对它们的持续研究有望进一步提高我们对空间及其在不同领域中的应用的理解。